theory Inductive_Examples+
−
imports Simple_Inductive_Package+
−
begin+
−
+
−
section {* Transitive closure *}+
−
+
−
simple_inductive+
−
  trcl for r :: "'a \<Rightarrow> 'a \<Rightarrow> bool"+
−
where+
−
  base: "trcl r x x"+
−
| step: "trcl r x y \<Longrightarrow> r y z \<Longrightarrow> trcl r x z"+
−
+
−
thm trcl_def+
−
thm trcl.induct+
−
thm base+
−
thm step+
−
thm trcl.intros+
−
+
−
lemma trcl_strong_induct:+
−
  assumes trcl: "trcl r x y"+
−
  and I1: "\<And>x. P x x"+
−
  and I2: "\<And>x y z. P x y \<Longrightarrow> trcl r x y \<Longrightarrow> r y z \<Longrightarrow> P x z"+
−
  shows "P x y" +
−
proof -+
−
  from trcl+
−
  have "P x y \<and> trcl r x y"+
−
  proof induct+
−
    case (base x)+
−
    from I1 and trcl.base show ?case ..+
−
  next+
−
    case (step x y z)+
−
    then have "P x y" and "trcl r x y" by simp_all+
−
    from `P x y` `trcl r x y` `r y z` have "P x z"+
−
      by (rule I2)+
−
    moreover from `trcl r x y` `r y z` have "trcl r x z"+
−
      by (rule trcl.step)+
−
    ultimately show ?case ..+
−
  qed+
−
  then show ?thesis ..+
−
qed+
−
+
−
+
−
section {* Even and odd numbers *}+
−
+
−
simple_inductive+
−
  even and odd+
−
where+
−
  even0: "even 0"+
−
| evenS: "odd n \<Longrightarrow> even (Suc n)"+
−
| oddS: "even n \<Longrightarrow> odd (Suc n)"+
−
+
−
thm even_def odd_def+
−
thm even.induct odd.induct+
−
thm even0+
−
thm evenS+
−
thm oddS+
−
thm even_odd.intros+
−
+
−
+
−
section {* Accessible part *}+
−
+
−
simple_inductive+
−
  accpart for r :: "'a \<Rightarrow> 'a \<Rightarrow> bool"+
−
where+
−
  accpartI: "(\<And>y. r y x \<Longrightarrow> accpart r y) \<Longrightarrow> accpart r x"+
−
+
−
thm accpart_def+
−
thm accpart.induct+
−
thm accpartI+
−
+
−
+
−
section {* Accessible part in locale *}+
−
+
−
locale rel =+
−
  fixes r :: "'a \<Rightarrow> 'a \<Rightarrow> bool"+
−
+
−
simple_inductive (in rel) accpart'+
−
where+
−
  accpartI': "\<And>x. (\<And>y. r y x \<Longrightarrow> accpart' y) \<Longrightarrow> accpart' x"+
−
+
−
context rel+
−
begin+
−
+
−
thm accpartI'+
−
thm accpart'.induct+
−
+
−
end+
−
+
−
thm rel.accpartI'+
−
thm rel.accpart'.induct+
−
+
−
end+
−